電気通信大学
2018年 理系 第4問

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  4. 2018年 - 理系 - 第4問
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a,bを定数とし，整式f_1(x)をf_1(x)=ax+bと定義する．次に，整式(x+1)f_1(x)を2x^2-3x-2で割った余りをf_2(x)と定義する．さらに，整式(x+1)f_2(x)を2x^2-3x-2で割った余りをf_3(x)と定義する．以下，このようにして，各自然数n=1,2,3,・・・に対して，整式(x+1)f_n(x)を2x^2-3x-2で割った余りをf_{n+1}(x)と定義する．このとき，整式f_n(x)(n=1,2,3,・・・)に対して，以下の問いに答えよ．(1)整式f_2(x)をa,bを用いて表せ．(2)各自然数n≧1に対して，整式f_n(x)をf_n(x)=a_nx+b_nとおいて，2つの数列{a_n}，{b_n}を定める．ただし，a_1=a，b_1=bとする．(i)a_{n+1}をa_n,b_nを用いて表せ．また，b_{n+1}をa_n,b_nを用いて表せ．(ii)a_{n+2}をa_n,a_{n+1}を用いて表せ．(3)数列{a_n}の一般項をa,bを用いて表せ．(4)数列{a_n}が収束するための条件を，a,bを用いて表せ．(5)数列{a_n}が発散するとき，極限値\lim_{n→∞}\frac{a_n}{b_n}を求めよ．
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