獨協医科大学医学部 2015年問題4

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$xy平面上に直線ℓ:y=1/2xがある．自然数nに対して，この平面上に，正方形A_nB_nC_nD_nを次のように定める．{\begin{array}{l}A_1(1/3,0)\　正方形の頂点は時計回りにA_n,B_n,C_n,D_nとする．　\　頂点A_n,D_nはx軸上にあり，頂点B_nは直線ℓ上にある．　\　頂点A_nのx座標は頂点D_nのx座標より小さい．　\　頂点D_nを頂点A_{n+1　とする．}\end{array}.頂点A_nのx座標をx_n，正方形A_nB_nC_nD_nの面積をS_nとする．(1)正方形A_nB_nC_nD_nの1辺の長さは\frac{[ア]}{[イ]}x_nである．また，正方形A_nB_nC_nD_nの対角線の交点の座標は(\frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\frac{[オ]}{[カ]}x_n)であるから，すべての自然数nに対して正方形A_nB_nC_nD_nの対角線の交点は直線y=\frac{[キ]}{[ク]}x上にある．(2)x_{n+1}をx_nで表すとx_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_nである．よってx_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}である．ただし，[サ]，[シ]には，次の\nagamaruichi～\nagamarurokuの中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．\nagamaruichi-n-1\qquad\nagamaruni-n\qquad\nagamarusann-2\qquad\nagamarushin-1\qquad\nagamarugon\qquad\nagamarurokun+1(3)T_n=Σ_{k=1}^nS_kとおく．T_n＞1となる最小のnは[ス]である．$