同志社大学理系全学部日程 2016年問題4

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$nを自然数，kを0以上の整数とする．また，f(x)=|xsin(nx)|，x_k=\frac{kπ}{n}，α_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}とする．次の問いに答えよ．(1)T_k=∫_{x_k}^{α_k}f(x)dxとする．T_kをn,kを用いて表し，極限\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^nT_kを求めよ．(2)x_k≦x≦x_{k+1}の範囲で，関数f(x)が最大値をとるときのxの値をβ_kとする．U_k=∫_{x_k}^{β_k}f(x)dxとおくと，ある定数bを用いてU_k=\frac{kπ+b|sin(nβ_k)|}{n^2}と表される．定数bの値を求めよ．また，極限\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^nU_kを求めよ．(3)x_k≦x≦α_kの範囲で，関数g(x)=|xcos(nx)|が最大値をとるときのxの値をγ_kとする．このγ_kと(2)のβ_kに対して，V_k=∫_{γ_k}^{β_k}f(x)dxとおく．極限\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^nV_kを求めよ．$