茨城大学
2013年 理学部 第3問

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  4. 2013年 - 理学部 - 第3問
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θ=\frac{2π}{3}とし，A=(\begin{array}{cc}cosθ&-sinθ\sinθ&cosθ\end{array})とおく．また，2次の単位行列をEで表す．以下の各問に答えよ．(1)A^3=Eを示せ．(2)rを実数とする．自然数kに対して，行列(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}の(1,1)成分をa_kとおくとき，a_kをrを用いて表せ．(3)自然数Nに対してx_N=2Σ_{k=0}^Na_kとする．ただしa_kは，k≧1のときは(2)で定めたものとし，k=0のときはa_0=1-1/2r-1/2r^2とおく．-1＜r＜1のとき，f(r)=\lim_{N→∞}x_Nを求めよ．(4)rが-1＜r＜1の範囲を動くとき，(3)で定めたf(r)のとりうる値の範囲を求めよ．
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