上智大学
2012年 経済（経済） 第3問

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  4. 2012年 - 経済（経済） - 第3問
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下の図1のように3×3のマスがあり，各マスに番号が書いてある．AとBが，これらのマスを以下の条件(i)～\tokeishiに従って互いに独立に移動していく．\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline1&2&3\\hline4&5&6\\hline7&8&9\\hline\end{tabular}\図1\end{center}条件(i)Aは一番上のマス1,2,3のいずれかから，また，Bは一番下のマス7,8,9のいずれかから出発する．条件(ii)A，Bが出発するマスは，それぞれ等しい確率で選ばれる．条件(iii)Aは下の段へ，Bは上の段へ1段ずつ2回動く．条件\tokeishiAの1回ごとの動きは，図2の場合は3通り，図3の場合はそれぞれ2通りある．また，それぞれ等しい確率で次のマスに動くものとする．Bの1回ごとの動きについても同様である．例えばAの移動\fbox{1}→\fbox{4}→\fbox{7}を考えると，その確率は1/12である．(1)Aの移動の場合の数は[ミ]通りである．そのうち，移動の確率が最も小さいものは[ム]通りあり，その移動の確率は\frac{[メ]}{[モ]}である．(2)AとBがともに奇数の番号のマスしか通らない確率は\frac{[ヤ]}{[ユ]}である．(3)AとBが中段のマス4,5,6で同じマスを通る確率は\frac{[ヨ]}{[ラ]}である．nを自然数とし，(2n+1)×(2n+1)のマスの場合を考える．このとき，AとBが3×3のマスの場合と同様に移動するものとする．(4)AとBが移動したマスを合わせたものが2つの対角線上のすべてのマスとなる確率は\frac{1}{p^2・3^q}である．ただし，p=[リ]n+[ル]，q=[レ]n+[ロ]である．
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