金沢工業大学
2015年 理系2 第5問
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![次の条件によって定められる関数f_n(x)(n=1,2,3,・・・)を考える．f_1(x)=(3x+5)e^{2x},f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x)(n=1,2,3,・・・)(1)f_2(x)=([ア]x+[イウ])e^{2x}である．(2)f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}（a_n,b_nは定数）とおくと，a_1=[エ],b_1=[オ],{\begin{array}{l}a_{n+1}=[カ]a_n\b_{n+1}=a_n+[キ]b_n\end{array}.(n=1,2,3,・・・)である．(3)a_n=[ク]・{[ケ]}^{n-1}(n=1,2,3,・・・)である．(4)c_n=\frac{b_n}{2^n}とおくと，c_{n+1}=c_n+\frac{[コ]}{[サ]}(n=1,2,3,・・・)である．よって，c_n=\frac{[シ]n+[ス]}{[セ]}，つまりb_n={[ソ]}^{n-2}([タ]n+[チ])(n=1,2,3,・・・)である．ゆえにf_n(x)={[ツ]}^{n-2}([テ]x+[ト]n+[ナ])e^{2x}(n=1,2,3,・・・)である．](./thumb/361/2221/2015_5.png?1)
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