慶應義塾大学
2012年 商学部 第3問

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  4. 2012年 - 商学部 - 第3問
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企業Xと企業Yが，互いに競合する商品を販売しようとしている．両社は，販売する商品の特性を，ある程度の範囲の中から選ぶことが可能である．また，消費者の好みもさまざまである．この状況での企業の戦略決定を，次のモデルで考えてみよう．企業Xが販売する商品の特性をx，企業Yが販売する商品の特性をy，消費者の好みをtで表す．ただし，それぞれのとり得る値の範囲は，0≦x≦1,0≦y≦1,0≦t≦1とする．企業XとYは，まず，特性xとyをそれぞれ決めるものとする．その結果は公表され，各企業は，相手の企業が決めた特性も知るものとする．以下，x＜yの場合に限定して考察する．第2段階として，企業Xは販売する商品の1個あたりの販売価格p（円）を決め，同様に企業Yはq（円）を決める．ただし，販売価格のとり得る値の範囲は，p＞0，q＞0とする．一方，好みtを持つ消費者は，自分の好みと商品の特性および販売価格を考え合わせて，次のように商品を選択して購入するものとする．この消費者にとっての企業Xの商品の価値V_Xと企業Yの商品の価値V_Yが，Uとcを正の定数として，V_X=U-p-c(t-x)^2,V_Y=U-q-c(t-y)^2で定まるものとし，消費者は，自分にとっての価値が大きい方の商品を選択するものとする．問題の複雑化を避けるため，もし価値が等しければ，企業Xの商品を選択するものとする．また，いずれの場合でも，消費者は，選択した商品を必ず購入するものとする．以下の設問において，太線の四角による表示のある問い，例えば[(52)]や[(53)]など，に対してはx,y,p,q,cのいずれかの文字が入る．xを入れる場合は1，yならば2，pならば3，qならば4，cならば5と解答しなさい．(1)消費者の選択に関する仮定から実数\overline{t}が定まり，好みtを持つ消費者は，t≦\overline{t}であれば企業Xの商品を選び，t＞\overline{t}であれば企業Yの商品を選ぶことがわかる．\overline{t}の値をx,y,p,q,cを用いて表すと，\frac{[(52)]+[(53)]}{[(54)]}+\frac{1}{[(55)][(56)]}・\frac{[(57)]-[(58)]}{[(59)]-[(60)]}となる．(2)次に，企業の売上高に相当する値を定める．はじめに記したように，消費者の好みはさまざまであり，その好みが0と1の間に分布していると考えている．その分布の仕方を特定すれば，各消費者の選択を集約することにより，各企業の売上高を定めることができる．ここでは，企業Xの売上高に相当する評価値T_Xと，企業Yの売上高に相当する評価値T_Yを，T_X=p\overline{t},T_Y=q(1-\overline{t})と定め，これらの評価値を最大化する問題に置き換えて考える（ただし，\overline{t}は(1)で求めたものである）．もう少し詳しく記すと，第2段階における，x＜yであることを前提とした価格設定がどのようになるかをまず調べ，その決定の仕方を考慮に入れて，評価値が最大になる商品の特性を求める，という問題をいくつかのステップに分けて考える．まず，T_Xをpの関数と考える．ここで，T_Xをpの関数と考えるということは，T_Xの式の中に含まれるp以外の文字，すなわちx,y,q,cはすべて定数と考える，ということである．この点に注意して，T_Xが最大値をとるpの値をx,y,q,cを用いて表すと，\frac{[61]}{[62]}+\frac{[63]([64]+[65])([66]-[67])}{[68]}となる．(3)同様にして，T_Yをqの関数と考え，T_Yが最大値をとるqの値をx,y,p,cを用いて表すことができる．(2)の結果と合わせると，pとqについての連立1次方程式が得られる．この連立方程式の解を\overline{p}と\overline{q}とすると，p=\overline{p}，q=\overline{q}において，T_Xはpの関数として最大値をとり，同時に，T_Yはqの関数として最大値をとることがわかる．\overline{p}の値をx,y,cを用いて表すと，\frac{[69]}{[70]}([71]-[72])([73]+[74]+[75])となり，\overline{p}と\overline{q}に対する\overline{t}の値は，\frac{[76]}{[77]}+\frac{[78]+[79]}{[80]}と表される．(4)最後に，各企業の価格決定が今求めた\overline{p}と\overline{q}になることを前提として，企業Xは商品の特性xを以下のように決定する．まず，p=\overline{p}，q=\overline{q}として，T_Xをxの関数と考える．次に，この関数T_X=f(x)が最大値をとるxの値を求める．その値を\overline{x}とする．ここで，関数T_X=f(x)のグラフの概形を座標平面に描きなさい．ただし，関数の極値および極値をとるxの値を明記する必要はありません．(5)企業Yもまったく同様にして，p=\overline{p}，q=\overline{q}とし，T_Yをyの関数と考えて，その関数が最大値をとるyの値を求める．その値を\overline{y}とする．\overline{x}と\overline{y}が決まれば，それらに対する\overline{p}と\overline{q}も確定する．これらの値の組は与えられた仮定を満たし，企業XとYにとって，お互いに最適な戦略決定になっている．最終的に求められた\overline{x}，\overline{y}，\overline{p}，\overline{q}，\overline{t}それぞれの値をcを用いて表せ．
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