慶應義塾大学医学部 2015年問題4

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$以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また(1)，(3)に答えなさい．以下，数列{a_n}が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべてのnに対してa_n=0となることをいう．ただし，a_nはすべて実数とする．また，数列{a_n}を一つの文字で表すときはA={a_n}あるいはA=(a_1,a_2,・・・)のように書く．数列A={a_n}が長さ有限のとき，a_n≠0となるような自然数nの最大値を数列Aの「長さ」と呼ぶ．ただし，すべてのnに対してa_n=0である数列の長さは0とする．数列A={a_n}，B={b_n}，および実数cに対してA+B={a_n+b_n},cA={ca_n}により新しい数列A+BおよびcAを定義する．また，A，Bがともに長さ有限のときに限ってAとBとの「内積」A・Bおよび「距離」\overline{AB}をそれぞれA・B=Σ_{n=1}^∞a_nb_n,\overline{AB}=\sqrt{Σ_{n=1}^∞(a_n-b_n)^2}により定める．(Σ_{n=1}^∞　は実際には有限個の数の和である．　)さて，A(0)=(0,0,0,・・・),A(1)=(1,0,0,・・・)であるとし，さらにs=2,3,・・・に対して長さsの数列A(s)=(a(s)_1,a(s)_2,・・・,a(s)_s,0,0,・・・)が定まっていてa(s)_n＞0(n=1,2,・・・,s)かつ\overline{A(s)A(t)}=1(s≠t　かつ　s,t=0,1,2,・・・)が成り立っているとする．(1)s≧1ならばA(s)・A(s)=1であり，また，t＞s≧1ならばA(s)・A(t)=1/2であることを示しなさい．ただし，A(s)={a_n}，A(t)={b_n}とおきなさい．(2)A(2),A(3)を求めるとA(2)=([あ],[い],0,0,・・・)，A(3)=([う],[え],[お],0,0,・・・)である．(3)t＞s≧2ならば数列A(t)と数列A(s)の初めのs-1項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列A(s)の初めのs項をa_1,a_2,・・・,a_s，数列A(t)の初めのt項をb_1,b_2,・・・,b_tとおき，また，sとt以外のすべてのi≧1について数列A(i)の初めのi項をc(i)_1,c(i)_2,・・・,c(i)_iとおきなさい．(4)t=1,2,・・・に対して長さtの数列B(t)をB(t)=\frac{1}{t+1}{A(1)+A(2)+・・・+A(t)}=\frac{1}{t+1}Σ_{i=1}^tA(i)により定めると，s=1,2,・・・,tに対してA(s)・B(t)=[か]である．(5)(3)で示されたことから，2つの数列{x_n}，{y_n}が定まって，すべてのs≧2に対してA(s)はA(s)=(x_1,x_2,・・・,x_{s-1},y_s,0,0,・・・)と表される．\frac{y_s}{x_s}をsの式で表すと\frac{y_s}{x_s}=[き]である．また，x_sをsの式で表すとx_s=[く]となる．$