慶應義塾大学
2015年 環境情報学部 第1問

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  4. 2015年 - 環境情報学部 - 第1問
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nを自然数とする．表と裏が1/2の確率で出現するコインをn回繰り返し投げる試行をおこなう．各試行に対してn個の数X_1,・・・,X_nをつぎのように定義する．X_i={\begin{array}{ll}X_{i-1}+1&(i　回目の結果が表の場合　)\X_{i-1}+2&(i　回目の結果が裏の場合　)\end{array}.ただしX_0=0とする．X_1,X_2,・・・,X_nのいずれかが値k(1≦k≦2n)と等しくなる確率をP(n,k)と記す．例えば，n=1ならばP(1,1)=1/2，P(1,2)=1/2となる．n=2ならばP(2,1)=1/2，P(2,4)=\frac{[1]}{[2]}となる．3≦k≦nとする．X_i=kとなるのは，X_{i-1}=k-1でi回目の結果が表となるか，あるいはX_{i-1}=k-2でi回目の結果が裏となるかのいずれかの場合である．したがってP(n,k)=\frac{[3]}{[4]}P(n,k-1)+\frac{[5]}{[6]}P(n,k-2)(3≦k≦n)が成り立つ．いまコインを10回投げる試行を考える．このときP(10,2)=\frac{[7]}{[8]},P(10,5)=\frac{[9][10]}{[11][12]}である．
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