慶應義塾大学
2016年 理工学部 第2問
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![f(x)は2次関数であり，f(0)=f(1)=0を満たすとする．(1)a=1/2f^{\prime\prime}(0)とする．このとき，f(x)はaを用いてf(x)=[キ]と表される．(2)定積分∫_0^1{(f´(x)-x)^2-f(x)}dxの値が最も小さくなるのはf(x)=[ク]のときである．また，そのときの定積分の値は[ケ]である．以下では，f(x)=[ク]，m=[ケ]とする．(3)関数h(x)はh(0)=h(1)=0を満たし，その導関数h´(x)は連続であるとする．さらに，IとJをI=∫_0^1{(f´(x)+h´(x)-x)^2-(f(x)+h(x))}dxJ=∫_0^1{(f´(x)-x)^2-f(x)}dx+∫_0^1(h´(x))^2dxで定める．このとき，等式I=Jを証明しなさい．(4)関数g(x)はg(0)=g(1)=0を満たし，その導関数g´(x)は連続であるとする．このとき，不等式∫_0^1{(g´(x)-x)^2-g(x)}dx≧mを証明しなさい．](./thumb/202/89/2016_2.png?1)
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