スポンサーリンク
3
f(x)を閉区間[0,1]で定義された連続な増加関数とし,nを正の整数とする.また,I_n,J_nをI_n=∫_0^1f(x)sin((2n+1)πx)dxJ_n=∫_0^1f(x)|sin((2n+1)πx)|dxで定める.(1)xについての方程式sin((2n+1)πx)=0の実数解で区間[0,1]に属するものは[テ]個ある.それらを小さい順にx_0,x_1,x_2,・・・,x_N(N=[テ]-1)と並べると,x_k=[ト](k=0,1,2,・・・,N)である.次に,k=0,1,2,・・・,[テ]-2に対して,a_kをa_k=∫_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)sin((2n+1)πx)dxで定める.このとき,次の(F1),(F2)が成り立つ.\mon[(F1)]kが偶数のときf(x_k)\frac{2}{(2n+1)π}≦a_k≦f(x_{k+1})\frac{2}{(2n+1)π}\mon[(F2)]kが奇数のとき-f(x_{k-1})\frac{2}{(2n+1)π}≦a_k≦-f(x_k)\frac{2}{(2n+1)π}(2)(F1)が成り立つことを証明しなさい.(3)\lim_{n→∞}I_n=0が成り立つことを証明しなさい.必要であれば,(F1),(F2)を証明なしに用いてよい.(4)数列{J_n}の極限は関数f(x)の定積分を用いて\lim_{n→∞}J_n=[ナ]と表すことができる.
3
現在、HTML版は開発中です。

問題PDF つぶやく 印刷 印刷
試験前で混乱するので解答のご要望は締め切りました。なお、現時点で解答がついていない問題は解答は来年度以降になります。すべてのご要望に答えられずご迷惑をおかけします。

コメント(0件)

現在この問題に関するコメントはありません。


書き込むにはログインが必要です。