慶應義塾大学
2017年 環境情報学部 第2問
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![つぎの命題を数学的帰納法を用いて証明する．選択肢よりもっとも適切なものを選びなさい．証明後の例については，解答の数字をマークしなさい．\setlength{skip}{9mm}\mon[{\bf命題}]すべての自然数は2^i3^j(i,j=0,1,2,・・・)の形の数の和で書くことができる．ただし各項は他の項を割ることはないとする．\mon[{\bf証明}]1=2^03^0より，1は表すことができる．nより小さな自然数に対して命題が成り立つと仮定してnの場合を示す．nが[15]のとき，\frac{n}{[16]}はnより小さいので\frac{n}{[16]}=a_1+a_2+・・・+a_{ℓ}と命題を満たす形に書くことができる．すなわち，各項は2^i3^jの形をしており，他の項を割ることはない．したがってn=[16]a_1+[16]a_2+・・・+[16]a_{ℓ}は命題を満たすことがわかる．nが[17]のとき，自然数kを3^k≦n＜3^{\mkakko{18}}となるように選ぶ．n=3^kであれば命題を満たす．3^k＜nのとき，n-3^kは[19]なので，前半の議論によりn-3^k=[20]b_1+[20]b_2+・・・+[20]b_mと命題を満たす形に書くことができる．よってn=[20]b_1+[20]b_2+・・・+[20]b_m+3^kである．b_s≦\frac{n-3^k}{[20]}＜\frac{3^{\mkakko{21}}-3^k}{[20]}=3^{\mkakko{22}}より，b_sが3^kで割られることはない．さらに，[20]b_sが3^kを割ることもない．よってnは命題を満たす形に書くことができる．以上のことからnの場合も命題が成立し，数学的帰納法により命題が示された．（証明終）\begin{array}{lllllllll}{\bf選択肢}&&(1)1&&(2)2&&(3)3&&(4)k-1\&&(5)k&&(6)k+1&&(7)偶数&&(8)奇数\phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}\end{array}例えば，2017を証明の考え方によって決まる命題を満たす形に表すと2017=2^{\mkakko{23}}3^{\mkakko{24}}+2^{\mkakko{25}}3^{\mkakko{26}}+2^{\mkakko{27}}3^{\mkakko{28}}+2^{\mkakko{29}}3^{\mkakko{30}}となる．ただし，項は2のべきの大きい順（[23]＞[25]＞[27]＞[29]）とする．](./thumb/202/95/2017_2.png?1)
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