高知大学
2018年 理学部・医学部 第4問

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  4. 2018年 - 理学部・医学部 - 第4問
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次の問いに答えよ．(1)定積分∫_0^{\frac{1}{√3}}\frac{1}{1+x^2}dxを求めよ．(2)正の整数nに対して，S_n(x)=1+Σ_{k=1}^n(-x^2)^kとおく．このとき，任意の実数xに対して，|S_n(x)-\frac{1|{1+x^2}}≦x^{2(n+1)}が成り立つことを示せ．(3)(2)のS_n(x)に対して，|∫_0^{\frac{1|{√3}}S_n(x)dx-∫_0^{\frac{1}{√3}}\frac{1}{1+x^2}dx}≦3^{-n}を示せ．(4)(1)，(3)の結果を用いて，\lim_{n→∞}Σ_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)3^k}を求めよ．
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