熊本大学理系 2018年問題3

画像
HTML版

$nを2以上の自然数とする．区間[0,1]をn等分して，その両端と分点を順に0=x_0,x_1,x_2,・・・,x_{n-1},x_n=1とする．関数f(x)=ax^2+bx+c(a＞0,b≧0,c＞0)に対して，区間[x_{k-1},x_k]を底辺とし，高さがf(x_k)である長方形の面積をL_kとする．ただし，k=1,2,・・・,nである．すべてのnに対してL_1+L_n=10/n+\frac{8}{n^3}であるとき，以下の問いに答えよ．(1)a,b,cを求めよ．(2)\lim_{n→∞}1/nΣ_{k=1}^nkL_kを求めよ．(3)\lim_{n→∞}\frac{1}{n^2}Σ_{k=1}^nk^2L_kを求めよ．$