杏林大学
2012年 医学部 第3問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第3問
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0＜θ＜π/3を満たすθと正の実数pに対して，a_1=log_4(psinθ)，a_2=log_4(sin2θ)，a_3=log_4(sin3θ)とする．(1)a_1=a_2=a_3となるのは，p=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]},θ=\frac{[エ]}{[オ]}πのときである．(2)3つの数a_1,a_2,a_3がこの順に等差数列をなしているとする．このとき，p＞\frac{[カ]}{[キ]}となる．pをこの範囲で変化させたとき，a_2+a_3が最大となるのは，cos^2θ=\frac{[クケ]+\sqrt{[コサシ]}}{[スセ]},p=\frac{[ソ]+\sqrt{[コサシ]}}{[タチ]}のときである．(3)p=2で，a_1,a_2,a_3がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項a_1および公差dはa_1=\frac{[ツ]}{[テ]},d=\frac{[トナ]}{[ニ]}である．この初項と公差を持つ等差数列{a_k}(k=1,2,3,・・・)に対して，極限値α=\lim_{n→∞}Σ_{k=1}^n2^{2a_k}を定義すると，αは2次方程式x^2-[ヌ]x-[ネ]=0の解となっている．
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