京都工芸繊維大学
2017年 工芸科学 第3問

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aを正の実数とし,nを自然数とする.iを虚数単位とし,複素数z_n=1+a/niを考え,r_n=|z_n|,θ_n=\argz_n(0<θ_n<π/2)とおく.このとき次の問いに答えよ.ただし,0<x<π/2のとき不等式sinx<x<tanxが成り立つことを証明なしに用いてよい.(1)関数f(x)=\frac{x}{tanx}の0<x<π/2の範囲における増減を調べよ.(2)不等式nθ_n<(n+1)θ_{n+1}(n=1,2,3,・・・)が成り立つことを示せ.(3)極限\lim_{n→∞}nθ_nおよび\lim_{n→∞}(r_n)^nを求めよ.
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