京都工芸繊維大学
2017年 工芸科学 第4問

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  4. 2017年 - 工芸科学 - 第4問
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nを2以上の自然数とする．n個の実数a_1,a_2,・・・,a_nが条件a_1＜a_2＜・・・＜a_nを満たすとする．b_1,b_2,・・・,b_nはn個の数a_1,a_2,・・・,a_nをすべて並べた順列であり，順列a_1,a_2,・・・,a_nとは異なるとする．(1)実数p_1,p_2,q_1,q_2がp_1＜p_2およびq_1＜q_2を満たすとき，不等式p_1q_2+p_2q_1＜p_1q_1+p_2q_2が成り立つことを示せ．(2)b_i＞b_jを満たす2つの自然数i,j(1≦i＜j≦n)が存在することを示せ．(3)n個の数a_1,a_2,・・・,a_nをすべて並べた順列c_1,c_2,・・・,c_nで，不等式Σ_{k=1}^na_kb_k＜Σ_{k=1}^na_kc_kを満たすものが存在することを示せ．
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