京都薬科大学薬学部 2015年問題3

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$次の[]にあてはまる数または式を記入せよ．漸化式a_{n+2}=da_{n+1}-a_nと条件a_1=0，a_2=1で定まる数列{a_n}の一般項を，2次方程式と三角関数を用いて求める．ここで，dは実数とする．(1)実数βをとり，a_n=β^{n-1}とおくとき，{a_n}が漸化式を満たすのは，βが2次方程式[ア]=0の解となるときである．(2)(1)の2次方程式が相異なる2つの実数解を持つ条件はd＞[イ]またはd＜[ウ]である．このとき，相異なる2つの実数解をβ_1,β_2と表し，a_n=p{β_1}^{n-1}+q{β_2}^{n-1}（p,q:任意の実数）とおけば，{a_n}は漸化式を満たす．よって，a_1,a_2の条件を満たすようにp,qを定めれば，数列の一般項はdとnを用いてa_n=[エ]と表される．(3)(1)の2次方程式が2つの虚数解を持つ条件は[オ]＜d＜[カ]である．三角関数の加法定理より{\begin{array}{l}cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=2[キ]cosθ\sin(n+1)θ+sin(n-1)θ=2[ク]cosθ\end{array}.が成り立つので，a_n=pcos(n-1)θ+qsin(n-1)θ（p,q:任意の実数）とおき，d=[ケ]となるようにθを選べば，{a_n}は漸化式を満たす．よって，a_1,a_2の条件を満たすようにp,qを定めれば，数列の一般項はθとnを用いてa_n=[コ]のように表される．$