九州工業大学
2013年 工学部 第2問

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  4. 2013年 - 工学部 - 第2問
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a,bを実数とし，行列Aを2次の正方行列とする．x,yについての連立1次方程式を，行列を用いてA(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})・・・・・・(*)と表す．次に答えよ．(1)A=(\begin{array}{cc}3&2\6&4\end{array})のとき，連立1次方程式(*)を解け．(2)cを実数とし，a≠0,b≠0とする．また，A=(\begin{array}{cc}a&b\c&1\end{array})とする．(i)a≠bcとする．連立1次方程式(*)がただ1つの解をもつことを示せ．また，連立1次方程式A^2(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})もただ1つの解をもつことを示せ．(ii)連立1次方程式(*)が解をもたないための必要十分条件をa,b,cを用いて表せ．この条件が成り立つとき，連立1次方程式A^2(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})も解をもたないことを示せ．(iii)連立1次方程式(*)が解を無数にもつための必要十分条件をa,b,cを用いて表せ．この条件が成り立つとき，自然数mに対して，連立1次方程式(A+A^2+A^3+・・・+A^{2m-1})(\begin{array}{c}x\y\end{array})=(\begin{array}{c}a\b\end{array})も解を無数にもつことを示せ．
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