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Oを原点とする座標平面上に点P_0(1,1),Q_0(1,0)がある.あるp(0<p<1)に対して,点P_1(p,p),Q_1(p,0)を定め,さらに,自然数nについて点P_{n+1},Q_{n+1}を次のように定める.\begin{itemize}点Q_nを通り直線Q_0P_1と平行な直線と,直線OP_0の交点をP_{n+1}とする.点P_{n+1}を通りy軸と平行な直線と,x軸の交点をQ_{n+1}とする.\end{itemize}また,△Q_{n-1}P_nQ_nの面積をS_nとするとき,以下の問いに答えよ.(1)S_1をpを用いて表せ.(2)点Q_{n-1}のx座標をqとするとき,点Q_nのx座標をp,qを用いて表せ.(3)S_nをp,nを用いて表せ.(4)nを定数として,pを0<p<1の範囲で動かすとき,S_nを最大にするpとそのときのS_nをそれぞれnを用いて表せ.(5)(4)で求めたS_nに対して,\lim_{n→∞}nS_nを求めよ.必要であれば,自然対数の底eについて\lim_{h→0}(1+h)^{1/h}=eが成り立つことを用いてよい.(プレビューでは図は省略します)
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