九州歯科大学歯学部 2017年問題3

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$-3/8≦x≦3/4で定義された関数f(x)をf(x)=\frac{3-\sqrt{8x+3}}{8}\sqrt{2\sqrt{8x+3}-8x}で定める．曲線y=f(x)とx軸および2直線x=-3/8，x=3/4で囲まれた図形の面積をSとするとき，次の問いに答えよ．(1)f(3/4)とf(-3/8)の値を求めよ．(2)定積分∫_0^{2/3π}1/2(1-cos4θ)dθの値を求めよ．(3)0≦θ≦2/3πの範囲で関数g(θ)=\frac{(2cosθ+1)^2-3}{8}を考える．gとfの合成関数f(g(θ))とg(θ)のθに関する微分g´(θ)の積f(g(θ))g´(θ)がf(g(θ))g´(θ)=1/8(sin2θ)^2-1/4(sinθ)^2-1/4(sinθ)^2(cosθ)となることおよび(2)の値を利用して，面積Sを求めよ．$