聖マリアンナ医科大学
2018年 医学部 第4問

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  4. 2018年 - 医学部 - 第4問
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a,bは正の整数で互いに素とする．このとき，どんな整数nも適当な整数x,yを用いてn=ax+byという形に表されることが知られている．集合AをA={n\;|\;\begin{array}{l}　nは整数であって，0以上の適当な整数x,yを用いて　\\　n=ax+byという形に表される．　\end{array}.}とおく．このとき，(a-1)(b-1)-1はAの要素ではないが，(a-1)(b-1)以上のどんな整数もAの要素であることを証明したい．以下の設問に対する解答を述べよ．(1)a=4，b=7の場合を考える．このとき，解答用紙（省略）にある0以上27以下の整数のうち，Aの要素であるすべての数を\bigcircで囲め．(2)nは整数とし，適当な整数x_0とy_0を用いて，n=ax_0+by_0と表す．このとき，y_0をaで割った余りをyとすると，適当な整数xを用いてn=ax+byという形に表されることを示せ．(3)n=(a-1)(b-1)-1とする．このとき，nはAの要素ではないこと，すなわち0以上のどんな整数x,yを用いても，n=ax+byという形に表すことができないことを背理法を用いて示せ．(4)nは(a-1)(b-1)以上の整数とする．このとき，nはAの要素であること，すなわち整数x,yを0≦y＜aを満たすように選んでn=ax+byという形に表すと，x≧0であることを示せ．
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