明治大学情報コミュニケーション学部 2016年問題3

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$1辺の長さが2の正四面体OABCがある．線分ABをp:(1-p)(0＜p＜1)に内分する点をD，線分OCをq:(1-q)(0＜q＜1)に内分する点をEとする．また，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとする．(1)ベクトルDEをベクトルa,ベクトルb,ベクトルc,p,qを用いて表し，次の空欄[タ]～[ツ]にp,qを用いた値や式を記せ．ベクトルDE=([タ])ベクトルa+([チ])ベクトルb+([ツ])ベクトルc・・・・・・①(2){|\overrightarrow{DE|}}^2を求める過程を記した次の文章の空欄[テ]～[ト]に適切な値や式を記せ．△OAB，△OBC，△OCAは，いずれも1辺の長さが2の正三角形だから，|ベクトルa|=|ベクトルb|=|ベクトルc|=2・・・・・・②かつ，ベクトルa・ベクトルb=ベクトルb・ベクトルc=ベクトルc・ベクトルa=[テ]・・・・・・③①,②,③より，{|\overrightarrow{DE|}}^2はp,qを用いて次のように表せる．{|\overrightarrow{DE|}}^2=4([ト])・・・・・・④(3)点D，点EがそれぞれAB，OC上を動くとき，{|\overrightarrow{DE|}}の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄[ナ]～[ネ]に適切な値や式を記せ．④は次のように変形できる．{|\overrightarrow{DE|}}^2=4{(p-[ナ])^2+(q-[ニ])^2+[ヌ]}・・・・・・⑤⑤より，{|\overrightarrow{DE|}}はp=[ナ]，q=[ニ]のとき最小値[ネ]をとる．$