明治大学全学部（理工） 2016年問題3

画像
HTML版

$次の空欄に当てはまる0から9までの数字を入れよ．ただし，空欄[サシ]は2桁の数をあらわす．(1)kを自然数とすると∫_0^πsin^kxcosxdx=[ア]である．(2)直線y=√3xをℓとし，曲線y=√3x+sin^2xをCとする．直線ℓ上に点Aをとり，点Aにおいて直線ℓと直交する直線をLとする．関数y=√3x+sin^2xはxに関する単調増加関数であるので，直線Lと曲線Cの共有点は1点のみである．その共有点をB(t,√3t+sin^2t)とする．点Aと点Bの距離をhとおくと，h=\frac{1}{[イ]}sin^2tとなる．また，原点Oと点Aの距離をpとする．点Aのx座標が0以上であるときはp=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}sin^2tとなる．この等式の右辺をf(t)とおく．0≦x≦πの範囲で曲線Cと直線ℓで囲まれた図形を考え，その図形を直線ℓの周りに1回転させてできる立体の体積をVとすると，V=π∫_0^{\mkakko{カ}π}h^2dpとなる．ここで，p=f(t)とおいて置換積分すれば，V=\frac{π}{[キ]}∫_0^{π}sin^4tdtが成り立つ．∫_0^{π}sin^4tdt=\frac{[ク]}{[ケ]}πより，V=\frac{[コ]}{[サシ]}π^2である．$