宮城教育大学
2017年 教育学部（中等数学） 第3問

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  4. 2017年 - 教育学部（中等数学） - 第3問
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数列{a_n}，{b_n}をa_1=3,b_1=7,a_{n+1}=\frac{a_n+1}{{(a_n+1)}^2+{b_n}^2},b_{n+1}=-\frac{b_n}{{(a_n+1)}^2+{b_n}^2}(n=1,2,3,・・・)により定義する．z_n=a_n+b_ni（iは虚数単位）およびα=\frac{√5-1}{2}とおいて，次の問に答えよ．(1)a_n＞0(n=1,2,3,・・・)であることを示せ．(2)z_{n+1}=\frac{1}{z_n+1}(n=1,2,3,・・・)およびα=\frac{1}{α+1}であることを示せ．(3)|z_{n+1|-α}=\frac{α|z_n-α|}{|z_n+1|}(n=1,2,3,・・・)であることを示せ．(4)|z_n-α|≦α^{n-1}|z_1-α|(n=1,2,3,・・・)であることを示せ．(5)\lim_{n→∞}a_nと\lim_{n→∞}b_nを求めよ．
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