長崎大学
2012年 理系 第6問

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  4. 2012年 - 理系 - 第6問
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次の問いに答えよ．(1)I_1=∫_0^{√3}\frac{dx}{x^2+1}とする．x=tanθとおくことにより，I_1=π/3を示せ．(2)(1)のI_1を部分積分して，I_1とI_2=∫_0^{√3}\frac{dx}{(x^2+1)^2}の関係式を導き，I_2の値を求めよ．(3)t=x+\sqrt{x^2+1}とおくことにより，不定積分∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}を求めよ．(4)合成関数の微分法を用いて，関数y=log(x+\sqrt{x^2+1})の導関数を求めよ．(5)極限値\lim_{n→∞}{\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+・・・+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}}を求めよ．
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