長崎大学
2011年 文系 第2問

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  4. 2011年 - 文系 - 第2問
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3辺の長さがAB=4,BC=3,CA=5である直角三角形ABCと，その内側にあって2辺ABおよびACに接する円Oを考える．この円の半径をrとし，中心OからABに引いた垂線とABとの交点をHとする．また，ベクトルベクトルAB，ベクトルACと同じ向きで大きさが1のベクトルを，それぞれベクトルu,ベクトルvとし，ベクトルAH=tベクトルu(t＞0)とする．次の問いに答えよ．(1)直線AOと辺BCの交点をMとするとき，ベクトルベクトルAMをベクトルuとベクトルvを用いて表せ．(2)ベクトルベクトルu,ベクトルvの内積ベクトルu・ベクトルvを求め，ベクトルベクトルAOとベクトルHOを，それぞれベクトルu,ベクトルvおよびtを用いて表せ．また，円Oの半径rをtで表せ．(3)円Oが辺BCにも接するとき，その中心をIとする．すなわち，Iは三角形ABCの内心である．そのときのtの値と，内接円Iの半径を求めよ．(4)円Oと内接円Iが共有点をもたないようなtの範囲を求めよ．
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