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xy平面上に放物線C:y=x^2と直線ℓ:y=1/2x-1/4がある.t>0とし,ℓ上を動く点P(t,1/2t-1/4)からCに接線を引く.このとき,以下の問いに答えよ.(1)点Pを通り,傾きmの直線がCに接するとき,mが満たす2次方程式を求めよ.さらに,この2次方程式は,常に異なる2つの実数解をもつことを示せ.(2)(1)で求めた2次方程式の解をm_1,m_2(m_1<m_2)とする.このとき,m_1+m_2,m_1m_2,m_2-m_1を,それぞれtの式で表せ.(3)傾きm_1,m_2の2本の接線がx軸の正の向きとなす角を,それぞれθ_1,θ_2(-π/2<θ_1<θ_2<π/2)とする.このとき,m_1=tanθ_1,m_2=tanθ_2を利用してtan(θ_2-θ_1)をtの式で表せ.さらに,この式をf(t)とおくとき,極限値\lim_{t→∞}f(t)を求めよ.(4)t>0であることに注意して,(3)の関数f(t)の最小値と,そのときのtの値およびθ_2-θ_1の値を求めよ.
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詳細情報

大学(出題年) 長崎大学(2017)
文理 理系
大問 4
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難易度 未設定

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