名古屋大学
2015年 理系 第3問

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  4. 2015年 - 理系 - 第3問
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eを自然対数の底とし，tをt＞eとなる実数とする．このとき，曲線C:y=e^xと直線y=txは相異なる2点で交わるので，交点のうちx座標が小さいものをP，大きいものをQとし，P，Qのx座標をそれぞれα,β(α＜β)とする．また，PにおけるCの接線とQにおけるCの接線との交点をRとし，曲線C，x軸および2つの直線x=α，x=βで囲まれる部分の面積をS_1，曲線Cおよび2つの直線PR，QRで囲まれる部分の面積をS_2とする．このとき，次の問に答えよ．(1)\frac{S_2}{S_1}をαとβを用いて表せ．(2)α＜e/t,β＜2logtとなることを示し，\lim_{t→∞}\frac{S_2}{S_1}を求めよ．必要ならば，x＞0のときe^x＞x^2であることを証明なしに用いてよい．
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