名古屋大学
2017年 理系 第2問

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  4. 2017年 - 理系 - 第2問
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下図のような立方体を考える．この立方体の8つの頂点の上を点Pが次の規則で移動する．時刻0では点Pは頂点Aにいる．時刻が1増えるごとに点Pは，今いる頂点と辺で結ばれている頂点に等確率で移動する．例えば時刻nで点Pが頂点Hにいるとすると，時刻n+1では，それぞれ1/3の確率で頂点D，E，Gのいずれかにいる．自然数n≧1に対して，(i)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻nで頂点B，D，Eのいずれかにいる確率をp_n，(ii)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻nで頂点C，F，Hのいずれかにいる確率をq_n，(iii)点Pが時刻nまでの間一度も頂点Aに戻らず，かつ時刻nで頂点Gにいる確率をr_n，とする．このとき，次の問に答えよ．(1)p_2,q_2,r_2とp_3,q_3,r_3を求めよ．(2)n≧2のとき，p_n,q_n,r_nを求めよ．(3)自然数m≧1に対して，点Pが時刻2mで頂点Aに初めて戻る確率s_mを求めよ．(4)自然数m≧2に対して，点Pが時刻2mで頂点Aに戻るのがちょうど2回目となる確率をt_mとする．このとき，t_m＜s_mとなるmをすべて求めよ．（プレビューでは図は省略します）
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