奈良県立医科大学医学部 2017年問題5

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$以下の文章の空欄に適切な数，式または数学記号を入れて文章を完成させよ．4人のプレイヤーによるトーナメントを行う．プレイヤーA，B，C，Dは自分の名前の書かれた玉をそれぞれa，b，c，d個持っている．ただし，a，b，c，dは正の整数である．トーナメントは次のようにして行う．\begin{waku}トーナメントルール：まず4人を2人ずつの2組に分け，それぞれの組で予選試合を1試合ずつ行う．予選2試合それぞれの勝者が決勝に進み，決勝1試合の勝者をトーナメントの優勝者とする．\end{waku}試合は次のルールに従って行う．\begin{waku}試合ルール：対戦する2人の持つ玉すべてを1つの袋に入れよくかきまぜた後，袋から玉を1つ取り出す．取り出した玉に名前が書かれているプレイヤーをその試合の勝者とする．試合の終了後は，試合で使った玉を対戦したプレイヤーそれぞれに返却する．\end{waku}(1)Aが予選でBと対戦する場合，Aがトーナメントで優勝する確率は\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}(a+[ア])である．同様に，Aが予選でCと対戦する場合や，Dと対戦する場合にAがトーナメントで優勝する確率も求まる．(2)次に，予選でのAの対戦相手を次のように決めることとする．B，C，Dの持つ玉すべてを1つの袋に入れてよくかきまぜた後，袋から玉を1つ取り出す．袋から取り出した玉に名前が書かれたプレイヤーとAが予選で対戦する．なお対戦相手決定後は，対戦相手決定のために使った玉をB，C，Dそれぞれに返却する．予選でAがBと対戦する確率は[イ]である．同様に，予選でAがCと対戦する確率や，Dと対戦する確率も求まる．よって，Aがこのトーナメントで優勝する確率は\frac{a^2}{(a+b)(a+c)(a+d)}(a+[ウ](\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}+\frac{1}{d+b}))である．$