日本医科大学
2013年 医学部 第3問

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  4. 2013年 - 医学部 - 第3問
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次の各問いに答えよ．(1)x≧1,k=0,1,2,・・・としてI_k(x)=∫\frac{(logx)^k}{x^2}dxとおくとき，I_0(x)を求め，I_{k+1}(x)をI_k(x)を用いて表せ．またI_4(x)を求めよ．(2)x＞0で不等式logx≦3/ex^{1/3}が成り立つことを証明せよ．(3)関数f(x)=\frac{(logx)^2}{x}に関する以下の各問いに答えよ．(i)y=f(x)(x≧1)の極値，極限\lim_{x→+∞}f(x)を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．(ii)n＞1として，y=f(x)と2直線x=n，x=n^2およびx軸で囲まれる部分D_nの面積S_nを求めよ．(iii)D_nをx軸のまわりに回転して得られる立体の体積V_nを求めよ．\mon[\tokeishi]極限\lim_{n→∞}\frac{nV_n}{(logn)S_n}の値を求めよ．
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