新潟大学
2017年 理系 第5問

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  4. 2017年 - 理系 - 第5問
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f(x)=xe^{1-x^2}とする．2つの曲線y=f(x)とy=x^kで囲まれた部分の面積をS_kとする．ただし，kは自然数とする．次の問いに答えよ．必要があれば\lim_{x→∞}xe^{-x^2}=0が成り立つことを用いてよい．(1)f(x)の導関数f´(x)および第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．(2)関数y=f(x)の極値，グラフの凹凸と変曲点，および漸近線を求め，グラフの概形をかけ．(3)S_kを，kを用いて表せ．(4)次の条件(*)を満たす最小の自然数nを求めよ．(*)すべての自然数mに対して，4S_{2n-1}＞7S_{2m}が成り立つ．
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