お茶の水女子大学
2016年 理（数学科） 第2問

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  4. 2016年 - 理（数学科） - 第2問
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以下ではnは0以上の整数とする．関係式H_0(x)=1,H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n´(x)によって多項式H_0(x),H_1(x),・・・を定め，f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}とおく．(1)-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)が成り立つように定数a_0を定めよ．(2)f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n´(x)を示せ．(3)2回微分可能な関数f(x)に対して，g(x)=xf(x)-f´(x)とおく．定数aに対して-f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x)が成り立つとき，-g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x)を示せ．(4)-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)が成り立つように定数a_nを定めよ．
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