お茶の水女子大学
2012年 理(数学科) 第2問

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a,bを実数とし,a<bとする.関数f(x)は閉区間[a,b]で連続,開区間(a,b)で少なくとも2回まで微分可能で,f^{\prime\prime}(x)≧0とする.以下の問いに答えよ.(1)a<c<bとする.y=g(x)を点(c,f(c))におけるf(x)の接線とする.a≦x≦bのときg(x)≦f(x)を示せ.(2)y=h(x)を,(a,f(a)),(b,f(b))の2点を通る直線とする.a≦x≦bのときf(x)≦h(x)を示せ.(3)a<c<bとする.1/2(b-a)(f´(c)(a+b-2c)+2f(c))≦∫_a^bf(x)dx≦1/2(f(a)+f(b))(b-a)を示せ.(4)π/2e^{-\frac{1}{√2}}≦∫_0^{π/2}e^{-cosx}dx≦π/4(1+1/e)を示せ.
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