大分大学
2010年 医学部 第3問

【PR】新倉敷駅前に新規開校 アイネス個別ゼミ 講師募集中！
  4. 2010年 - 医学部 - 第3問
スポンサーリンク
3
微分可能な関数y=f(x)が次の方程式を満たすとする．a_nf^{(n)}(x)+a_{n-1}f^{(n-1)}(x)+・・・+a_1f^{(1)}(x)+a_0f(x)=0(　A　)ここにnは自然数，a_i(i=0,1,2,・・・,n)は実数の定数で，a_n≠0である．また，y^{(k)}=f^{(k)}(x)はf(x)のk次導関数でy^{(0)}=f^{(0)}(x)=f(x)とする．(A)のような方程式を第n階微分方程式といい，(A)に対してtのn次方程式a_nt^n+a_{n-1}t^{n-1}+・・・+a_1t+a_0=0(　B　)を(A)の特性方程式という．このとき次の問いに答えよ．(1)特性方程式(B)の解が実数rであるとき，関数y=e^{rx}が方程式(A)を満たすことを証明せよ．(2)n次方程式(B)が実数rをk重解^{(　注　)}にもつとき，次のtに関する方程式はrをk-1重解にもつことを証明せよ．ただし，k=2,3,・・・とする．na_nt^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+・・・+2a_2t+a_1=0(注)tのm次方程式が適当な多項式Q(t)を用いて(t-r)^kQ(t)=0となるとき，t=rをこの方程式のk重解と定義する．ただし，k=1,2,・・・とする．(3)実数の定数rに対してxの関数をy_i=x^ie^{rx}(i=0,1,2,・・・)とする．このとき，y_j^{(n)}をx,y_{j-1}^{(n-1)}およびy_{j-1}^{(n)}を用いて表せ．ただし，j=1,2,3,・・・とする．(4)実数rがn次方程式(B)のk重解であるときy_i=x^ie^{rx}(i=0,1,2,・・・,k-1)が微分方程式(A)を満たすことを証明せよ．ただし，kは自然数とする．
3
現在、HTML版は開発中です。

問題PDF つぶやく 印刷 印刷
試験前で混乱するので解答のご要望は締め切りました。なお、現時点で解答がついていない問題は解答は来年度以降になります。すべてのご要望に答えられずご迷惑をおかけします。
関連問題（関連度順）
コメント（0件）

現在この問題に関するコメントはありません。

書き込むにはログインが必要です。
書込む