岡山大学理系 2010年問題4

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$平面上に半径1の円Cがある．この円に外接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさのn個の円を図（例1）のように配置し，その一つの円の半径をR_nとする．また，円Cに内接し，さらに隣り合う2つが互いに外接するように，同じ大きさのn個の円を図（例2）のように配置し，その一つの円の半径をr_nとする．ただし，n≧3とする．このとき，次の問いに答えよ．(1)R_6,r_6を求めよ．(2)\lim_{n→∞}n^2(R_n-r_n)を求めよ．ただし，\lim_{θ→0}\frac{sinθ}{θ}=1を用いてよい．\setlength\unitlength{1truecm}\begin{center}\scalebox{1.5}{\begin{picture}(6,2.6)\put(0.5,1){\circle{3}}\put(0.5,1){\circle*{0.05}}\put(0.5,1.95){\circle{0.48}}\put(0.5,1.95){\circle*{0.05}}\put(0.5,0.05){\circle{0.48}}\put(0.5,0.05){\circle*{0.05}}\put(0.97,1.83){\circle{0.48}}\put(0.97,1.83){\circle*{0.05}}\put(1.32,1.47){\circle{0.48}}\put(1.32,1.47){\circle*{0.05}}\put(1.45,1){\circle{0.48}}\put(1.45,1){\circle*{0.05}}\put(-0.4,-0.6){\tiny例1：n=12の場合}\put(1.32,0.53){\circle{0.48}}\put(1.32,0.53){\circle*{0.05}}\put(0.97,0.17){\circle{0.48}}\put(0.97,0.17){\circle*{0.05}}\put(0.03,0.17){\circle{0.48}}\put(0.03,0.17){\circle*{0.05}}\put(-0.32,0.53){\circle{0.48}}\put(-0.32,0.53){\circle*{0.05}}\put(-0.45,1){\circle{0.48}}\put(-0.45,1){\circle*{0.05}}\put(0.03,1.83){\circle{0.48}}\put(0.03,1.83){\circle*{0.05}}\put(-0.32,1.47){\circle{0.48}}\put(-0.32,1.47){\circle*{0.05}}\put(4.5,1){\circle{3}}\put(4.5,1){\circle*{0.05}}\put(4.5,1.41){\circle{0.63}}\put(4.5,1.41){\circle*{0.05}}\put(4.5,0.59){\circle{0.63}}\put(4.5,0.59){\circle*{0.05}}\put(4.09,1){\circle{0.63}}\put(4.09,1){\circle*{0.05}}\put(4.91,1){\circle{0.63}}\put(4.91,1){\circle*{0.05}}\put(3.7,-0.6){\tiny例2：n=4の場合}\end{picture}}\end{center}$