大阪府立大学
2010年 工学域（中期） 第3問

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  4. 2010年 - 工学域（中期） - 第3問
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座標平面上において，点(x,y)から点(x+1,y)または点(x,y+1)への移動をN型移動といい，点(x,y)から点(x+1,y+1)への移動をS型移動という．nを3以上の整数とする．原点Oから出発し，2n-2回のN型移動と1回のS型移動を組合せて点(n,n)に到達する径路の総数をA(n)とする．また，このような径路のうち，S型移動をk回目の移動として含む径路の総数をB(n,k)とする．このとき，次の問いに答えよ．(1)A(3)を求めよ．(2)B(4,1),B(4,2)をそれぞれ求めよ．(3)B(n,1)をnを用いて表せ．(4)一般のk=1,2,3,・・・,2n-1に対して，B(n,k)をn,kを用いて表せ．(5)A(n)をnを用いて表せ．ただし，p,q,rを非負の整数とし，p≦q≦rとするとき，Σ_{i=0}^p\comb{p}{i}・\comb{r}{q-i}=\comb{p+r}{q}が成り立つことを用いてもよい．
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