大阪教育大学
2015年 理系 第3問

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  4. 2015年 - 理系 - 第3問
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a,bは0＜a＜bを満たす定数とし，関数y=logxのグラフをGとする．点Cが曲線G上を点A(a,loga)から点B(b,logb)まで動くとき，点Cからx軸への垂線と線分ABとの交点をPとし，線分CPの長さの最大値をLとする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，logxは自然対数を表すものとする．(1)不等式a＜\frac{b-a}{logb-loga}＜bが成り立つことを証明せよ．(2)h=b/aとおくとき，Lをhを用いて表せ．(3)実数p,q,rがa＜p＜b，a＜q＜b，a＜r＜bを満たすとき，不等式\frac{p+q+r}{3}＜e^L\sqrt[3]{pqr}が成り立つことを証明せよ．ただし，eは自然対数の底とする．
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