大阪市立大学
2011年 理系 第4問

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  4. 2011年 - 理系 - 第4問
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N,a,bは正の整数とする．箱の中に赤玉がa個，白玉がb個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が2N+2になったら終了する．n回取り出して終わる確率をP(n)とし，p=\frac{a}{a+b},q=\frac{b}{a+b},r=pqとおく．次の問いに答えよ．(1)P(2j),P(2j+1)(j=1,2,・・・,N)およびP(2N+2)をrを用いて表せ．(2)(1-r)Σ_{j=1}^Njr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^Nを示せ．(3)取り出す回数の期待値m=Σ_{n=2}^{2N+2}nP(n)について，m＜\frac{2+r}{1-r}となることを示せ．(4)上の期待値mについて，m＜3を示せ．
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