大阪市立大学
2018年 理系 第4問

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  4. 2018年 - 理系 - 第4問
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nを2以上の自然数とし，原点Oを中心とする単位円周上に2n+1個の相異なる点P_k(cos\frac{2πk}{2n+1},sin\frac{2πk}{2n+1})\qquad(k=0,1,・・・,2n)を取る．また整数jに対して，jを2n+1で割った余りがk=0,1,・・・,2nのとき，P_j=P_kと約束する．この記法の下で，線分P_kP_{k+n}と線分P_{k+1}P_{k+1-n}との交点をQ_k(k=0,1,・・・,2n)とおく．点P_0，Q_0，P_1，Q_1，・・・，P_{2n}，Q_{2n}，P_0を順に結んでできる折れ線が囲む図形をK_nとし，その面積をA_nとする．このとき次の問いに答えよ．(1)∠OP_0Q_0および∠P_0OQ_0の値をnを用いて表せ．(2)(1)で求めた∠OP_0Q_0の値をθ_nとおく．三角形△OP_0Q_0の面積をθ_nを用いて表せ．(3)極限\lim_{n→∞}A_nを求めよ．
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