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a,bは定数であり,0<a<bとする.定積分I=∫_0^1a^{1-t}b^tdtについて,次の問に答えよ.(1)Iを求めよ.(2)0≦t≦1のとき,a^{1-t}b^t+a^tb^{1-t}≧2\sqrt{ab}であることを示せ.また,I>\sqrt{ab}を示せ.(3)0<t<1とする.x>1のとき,次の不等式が成り立つことを証明せよ.x^t<1+t(x-1)(4)(3)の不等式を利用して,I<\frac{a+b}{2}を示せ.
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