佐賀大学
2018年 理工学部 第2問

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  4. 2018年 - 理工学部 - 第2問
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数列{a_n}は{\begin{array}{l}a_1=1\a_{n+1}=√2-\frac{a_n}{n+1}(n=1,2,・・・)\end{array}.で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．(1)4つの有理数p,q,r,sがp+q√2=r+s√2を満たすとする．このとき，p=rかつq=sであることを示せ．ただし，√2が無理数であることは用いてよい．(2)不等式(1-1/n)√2＜a_n＜√2が成立することと，a_n=p_n+q_n√2（p_nおよびq_nは有理数）と表されることをnに関する数学的帰納法を用いて示せ．(3)(2)で定義された数列{p_n}に対して，p_{n+1}とp_nが満たす関係式，および一般項p_nを求めよ．
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