産業医科大学
2012年 医学部 第3問

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  4. 2012年 - 医学部 - 第3問
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自然数nと0以上の整数mに対して，p_n=\comb{2n}{n}{(1/2)}^{2n}，I_m=∫_0^{π/2}sin^mxdxとおく．次の問いに答えなさい．(1)すべての自然数nについて(n+1/2){p_n}^2=\frac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}が成り立つように，定数bの値を求めなさい．(2)0＜x＜π/2のとき，sin^mx＞sin^{m+1}x＞0であることを用いて，極限\lim_{n→∞}√np_nを求めなさい．
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