静岡大学
2014年 理学部（数） 第4問

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  4. 2014年 - 理学部（数） - 第4問
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αを実数とする．2つの関数f(x)=e^{-x}(sinx-cosx)とg(x)=αe^{-x}について，次の問いに答えよ．(1)∫f(x)dx=-e^{-x}sinx+Cであることを示せ．ただし，Cは積分定数である．(2)すべてのx≧0についてf(x)≦g(x)が成り立つようなαの値の最小値を求めよ．(3)αを(2)で求めた最小値とする．曲線y=f(x)(x≧0)と曲線y=g(x)(x≧0)との共有点のx座標を小さい方から順にa_0,a_1,a_2,・・・とし，nが自然数であるとき，S_n=∫_{a_{n-1}}^{a_n}{g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2}}dxとする．このとき，S_nを求めよ．(4)(3)で求めたS_nについて，無限級数Σ_{n=1}^∞S_nの和を求めよ．
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