首都大学東京
2013年 理系 第2問

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  4. 2013年 - 理系 - 第2問
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A,B,Pを実数を成分とする2次の正方行列とする．Pは逆行列をもち，P^{-1}APの(1,2)成分と(2,1)成分は0となるものとする．P^{-1}AP=(\begin{array}{cc}a_1&0\0&a_2\end{array})，P^{-1}BP=(\begin{array}{cc}b_1&b_2\b_3&b_4\end{array})とおく．以下の問いに答えなさい．(1)a_1≠a_2かつAB=BAが成り立つとき，b_2=b_3=0であることを示しなさい．(2)A=(\begin{array}{cc}0&-2\1&3\end{array})，P=(\begin{array}{cc}c&1\-1&-1\end{array})とするとき，a_1,a_2,cの値を求めなさい．(3)A,Pを(2)で与えた行列とし，B=(\begin{array}{cc}3&2\-1&0\end{array})とする．正の整数m,nに対し，(A^m+B^m)^nを求めなさい．
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