首都大学東京
2018年 理系 第3問

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  4. 2018年 - 理系 - 第3問
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空間において，点Oを中心とする半径1の球面上に3点A，B，Cをとる．ただし，4点O，A，B，Cは同一平面上にはないとする．3点O，A，Cが定める平面OACと平面OABのなす角をαとし，平面OABと平面OBCのなす角をβとし，さらに平面OBCと平面OACのなす角をγとする．また，a=∠BOC，b=∠COA，c=∠AOBとする．以下の問いに答えなさい．(1)平面OAB上に点Pを，直線CPが平面OABと直交するようにとる．また，直線OA上に点Fを，直線PFが直線OAと直交するようにとる．直線OAと直線CFが直交することを示しなさい．(2)四面体OABCの体積をsinb，sincおよびsinαを用いて表しなさい．(3)以下の等式が成り立つことを示しなさい．\frac{sinα}{sina}=\frac{sinβ}{sinb}=\frac{sinγ}{sinc}
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