東京農工大学
2015年 理系 第2問

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  4. 2015年 - 理系 - 第2問
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次の問いに答えよ．(1)rを|r|＜1である実数とする．自然数nに対してS_n=1+2r+3r^2+・・・+nr^{n-1}とおく．S=\lim_{n→∞}S_nをrの式で表せ．ただし|r|＜1のとき\lim_{n→∞}nr^n=0であることを用いてよい．(2)nを自然数とする．2人の弓道部員A，Bが矢を的に命中させる確率は，Aが4/5，Bが1/2である．A，Bが的に向かってそれぞれn回ずつ矢を射る．(i)n=1のとき，Aの射る矢が命中する確率をp_1とし，Aの射る矢が命中せずにBの射る矢が命中する確率をq_1とする．p_1+q_1を求めよ．(ii)n≧2のとき，1回目から(n-1)回目までAの射る矢もBの射る矢も命中せず，n回目にAの射る矢が命中する確率をp_nとする．p_nを求めよ．(iii)n≧2のとき，Aの射る矢は1回目からn回目まで命中せず，Bの射る矢は1回目から(n-1)回目まで命中せずにn回目のみ命中する確率をq_nとする．q_nを求めよ．(3)(2)で求めたp_n(n=1,2,3,・・・)に対してE=Σ_{n=1}^∞(2n-1)p_nとおく．Eの値を求めよ．
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