東京理科大学工（建築・電気工） 2015年問題1

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$[]内に0から9までの数字を1つずつ入れよ．(1)aを正の定数とし，関数f(x)=tan2x(0≦x＜π/4)　および　g(x)=acosx(0≦x≦π/2)に対して，曲線y=f(x)とy=g(x)の交点のx座標をθとする．曲線y=f(x)とx軸，および直線x=θで囲まれた部分の面積Sを考える．(i)a=[ア]のとき，θ=π/6である．このときS=\frac{[イ]}{[ウ]}×log[エ]である．(ii)a=\sqrt{[オ]}のとき，S=1/2log\frac{√7+1}{2}である．ただし，正の数Aに対して，logAはAの自然対数を表す．(2)1個のサイコロを投げ，その出た目によって，点Pを座標平面上で移動させる試行を繰り返す．点Pの出発点(x_0,y_0)を原点(0,0)とし，1回目の試行（移動）後の点Pの座標を(x_1,y_1)，2回目の試行（移動）後の点Pの座標を(x_2,y_2)，以下同様にk回目の試行（移動）後の点Pの座標を(x_k,y_k)とする．座標(x_k,y_k)(k=1,2,3,・・・)は次のルールによって定める．サイコロをk回目に投げたとき，出た目を3で割った商をq，余りをrとして，x_kを次のようにqによって定め，{\begin{array}{ll}q=0&　のとき　x_k=x_{k-1}\q=1&　のとき　x_k=x_{k-1}+1\q=2&　のとき　x_k=x_{k-1}-1\end{array}.y_kを次のようにrによって定める．{\begin{array}{ll}r=0&　のとき　y_k=y_{k-1}\r=1&　のとき　y_k=y_{k-1}+1\r=2&　のとき　y_k=y_{k-1}-1\end{array}.ただし，サイコロを投げたとき，1から6の目がそれぞれ確率1/6で出るものとする．(i)(x_2,y_2)=(0,0)である確率は\frac{[ア]}{[イ]}であり，(x_3,y_3)=(0,0)である確率は\frac{[ウ]}{[エオ]}である．(ii)x_k+y_kが偶数である確率をp_kとすると，p_1=\frac{[カ]}{[キ]}であり，p_k=\frac{[ク]}{[ケ]}・(-\frac{[コ]}{[サ]})^k+\frac{[シ]}{[ス]}(k=2,3,4,・・・)である．(3)1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，辺OAを2:1の比に内分する点をP（OP:PA=2:1），辺OCを1:2の比に内分する点をQ（OQ:QC=1:2），辺ABの中点をMとする．(i)MP=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}，MQ=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}である．(ii)三角形MPQの面積は\frac{[カ]}{[キク]}×\sqrt{[ケコ]}である．(iii)辺BC上のBR=\frac{[サ]}{[シ]}となる点Rは，3点M，P，Qで定まる平面上にある．$