東京理科大学理（数） 2015年問題1

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$次の[ア]～[ヒ]にあてはまる0から9までの数字，および，[あ]にあてはまる+か-の符号を入れよ．pを3で割り切れない整数とする．このとき，整数aとbに対し，「pa-bが3の倍数ならば，a-pbも3の倍数になる．」がわかる．これを認めて，2つの整数列{a_n},{b_n}を以下のように定める．a_1=1とし，b_1は0，1，2いずれかの数でpa_1-b_1が3の倍数になるようなものとし，n=2,3,・・・に対し，a_n,b_nを次のように定める．\begin{itemize}a_n=1/3(a_{n-1}-pb_{n-1})b_nは，0,1,2いずれかの数でpa_n-b_nが3の倍数となるようなものとする．\end{itemize}このように定められた2つの整数列{a_n},{b_n}について，以下の各問いに答えよ．(1)p=8のとき，b_1=[ア]，a_2=-[イ]，b_2=[ウ]，a_3=-[エ]，b_4=[オ]，a_4=-[カ]，b_4=[キ]，a_5=-[ク]，b_5=[ケ]，a_6=-[コ]となる．(2)p=-13のとき，a_{190}=[サ]，b_{190}=[シ]，a_{191}=[ス]，b_{191}=[セ]，a_{192}=[ソ]，b_{192}=[タ]となる．(3)p=-13のとき，Σ_{k=1}^{200}a_k=[チ][ツ][テ]となる．(4)p=-13のとき，Σ_{k=1}^{30}k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}となる．(5)p=3^{11}+1のとき，数列{b_n}の第2項目以降で0でない値が初めて出てくるのは，第[ネ][ノ]項目であり，その項の値は[ハ]である．\mon数列{b_n}のすべての項が1となるような整数pで絶対値が最小となるものは，[あ][ヒ]である．0のときは，+0で表すものとする．$